もっと簡単な流体の運動方程式の証明 - あとは、人生どんだけ遊ぶかです

Jinさんとのゼミで議論したところによれば、もっと簡単に説明できる。
単位質量当たりの運動方程式を考える。
信じるべき運動方程式は
$\frac{d}{dt}mv=-\int \nabla P dV$
である。
ここで、単位質量の流体素片の運動を考える。
単位質量当たりの体積( $V = 1/\rho$ とする)が十分小さいとすれば、右辺は
$-\int \nabla P dV = - V \nabla P = -\frac{1}{\rho }\nabla P$
左辺は、 $m=1$ より
$\frac{d}{dt}mv=\frac{dv}{dt}$
となって、導きたい式が導けた。
わお。楽ちん。